Matemática


 * __ Resumenes: __**

[|Razonamiento Matemático.docx]

[[file:Ficha Funciones 11 2011.docx]]

 * __ Prácticas: __**



[[file:Examen # 1.doc]][[file:Soluciones # 1.doc]]
** Ecuación exponencial ** Una **ecuación exponencial** es aquella **ecuación** en la que la **incógnita** aparece en el **exponente**. Para **resolver una ecuación exponencial** vamos a tener en cuenta: ** 1 ** ** 2 **  ** 3 ** Las **propiedades de las potencias**. ** a0 = 1 ** · ** a1 = a ** ** am · a n = am+n ** ** am : a n = am - n ** ** (am)n = am · n ** ** an · b n = (a · b) n ** ** an : b n = (a : b) n ** ** Resolver las ecuaciones exponenciales: ** ** Para despejar una incógnita que está en el exponente de una potencia, se toman logaritmos cuya base es la base de la potencia. **


 * Propiedades de los logaritmos **

De la definición de logaritmo podemos deducir: No existe el logaritmo de un número con base negativa. No existe el logaritmo de un número negativo No existe el logaritmo de cero. El logaritmo de 1 es cero. El logaritmo en base a de a es uno.  El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.
 * Definición de logaritmo: **

1) <span style="font-family: 'Arial','sans-serif';">El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. <span style="color: black; font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 16px;">2<span style="font-family: 'Arial','sans-serif';"> ) El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor. <span style="color: black; font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 16px;">3) <span style="font-family: 'Arial','sans-serif';">El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base. <span style="color: black; font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 16px;">4) <span style="font-family: 'Arial','sans-serif';">El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz. <span style="color: black; font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 16px;">5) Cambio de base: formula resolvente:  el procedimiento consiste en realizar modificaciones algebraicas en la ecuación general de la ecuación de 2º grado: ax2+bx+c=0 Hasta que la x quede despejada. la solución de una ecuación de 2º grado es llamada **__formula resolvente.__** ||   ||   ||
 * <span style="color: #990000; font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 16px;">Propiedades de los logaritmos **
 * || Ecuación cuadrática:

// La formula genera 2 respuestas: // // Una con signo + y otra con signo - antes de la raiz. solucionar una ecuación de 2º grado se limita entonces, a diferenciar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la formula resolvente. // // Es de hacer notar que, utilizar la formula resolvente es un prosedimiento que debe realizarse con cuidado y requiere extraer la raiz cuasdrada de 1 nº, bien sea con calculadora o cualquier prosedimiento manual // ||  ||
 * ** resultados: **
 * ** resultados: **
 * ** resultados: **
 * ** resultados: **

** FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS **

Para factorizar polinomios hay varios métodos:


 * 1) ** Sacar factor común ** : Es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, Así, la propiedad distributiva dice:

Pues bien, si nos piden factorizar la expresión, basta aplicar la propiedad distributiva y decir que

Cuando nos piden sacar factor común o simplemente factorizar y hay coeficientes con factores comunes, se saca el máximo común divisor de dichos coeficientes. Por ejemplo, si nos piden factorizar la expresión, será

donde 6 es el máximo común divisor de 36, 12 y 18 Para comprobar si la factorización se ha hecho correctamente, basta efectuar la multiplicación, aplicando la propiedad distributiva de la parte derecha de la igualdad, y nos tiene que dar la parte izquierda.

Otro ejemplo: Factorizar

¡Atención a cuando sacamos un sumando completo!, //dentro del paréntesis hay que poner un uno//. Tener en cuenta que si hubiéramos puesto y quiero comprobar si está bien, multiplico y me da pero no como me tendría que haber dado. Sin embargo si efectúo

Otros ejemplos:

Se basa en la siguiente fórmula.
 * 1) ** Si se trata de una diferencia de cuadrados ** : Es igual a suma por diferencia.

Pero aplicada al revés, o sea que si me dicen que factorice escribo.

Otros ejemplos de factorización por este método:

Se basa en las siguientes fórmulas
 * 1) ** Si se trata de un trinomio cuadrado perfecto ** : Es igual al cuadrado de un binomio

y

Así si nos dicen que factoricemos:, basta aplicar la fórmula anterior y escribir que

Otros ejemplos de factorización por este método:

, siendo a, b y c números
 * 1) ** Si se trata de un trinomio de segundo grado ** : O sea un polinomio de este tipo

Se iguala el trinomio a cero, se resuelve la ecuación , y si tiene dos soluciones distintas, y se aplica la siguiente fórmula:

Veamos un ejemplo: Factorizar el polinomio Igualamos a cero Resolvemos la ecuación, y separando las dos soluciones , , y aplicando la fórmula, teniendo en cuenta que a=2

Ecuación de primer grado

Se dice que una ecuación polinomial es de primer grado cuando la variable (aquí representada por la letra x) no está elevada a ninguna potencia, es decir que su exponente es 1.

Las ecuaciones de primer grado tienen la forma canónica:

con //a// diferente de cero.

Su solución es sencilla:

Resolución de ecuaciones de primer grado
Las ecuaciones polinómicas de primer grado se resuelven en tres pasos: transposición, simplificación y despeje, desarrollados a continuación mediante un ejemplo.

Dada la ecuación:



Transposición
Primero se agrupan todos los [|monomios] que incluyen la incógnita **x** en uno de los miembros de la ecuación, normalmente en el izquierdo; y todos los términos independientes (los que no tienen x) en el otro miembro. Podemos hacerlo teniendo en cuenta que:


 * > Si sumamos o restamos un mismo monomio en los dos miembros, la igualdad no varía. ||

En términos coloquiales, decimos: //si un término está sumando// (como 16x en el miembro de la derecha) //pasa al otro lado restando// (−16x a la izquierda); y //si está restando// (como el −9 de la izquierda), //pasa al otro lado sumando// (+9 a la derecha)

La ecuación quedará entonces así:

Como puede verse, todos los términos que poseen la variable **x** han quedado en el primer miembro (a la izquierda del signo igual), y los que no la poseen, por ser sólo constantes numéricas, han quedado a la derecha.

Simplificación
El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta.

Realizamos la simplificación del primer miembro:

Y simplificamos el segundo miembro:

La ecuación simplificada será:



Despeje
Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la incógnita quede aislada en un miembro de la igualdad. Para lo cual recordamos que:


 * > Si multiplicamos o dividimos ambos miembros por un mismo número, la igualdad no varía. ||

En términos coloquiales: //Para despejar la x, si un número la está multiplicando// (Ej: 5x) //se lo pasa al otro lado dividiendo// (n5) //sin cambiar su signo//. Y //si un número la está dividiendo// (Ej: x2), entonces //se lo pasa al otro lado multiplicando// (n×2) //sin cambiar su signo//.

En la ecuación debemos entonces //pasar// el número 95 al otro miembro y, como estaba multiplicando, lo hará dividiendo, sin cambiar de signo:

El ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que **x** equivale al número 52595. Sin embargo, debemos simplificar.

Resolvemos la fracción (numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto; si diera decimal, simplificamos la fracción y ése es el resultado.

En la ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95 = 5,5263157894737)

Por tanto, simplificando, la solución es:



Ejemplo de problema
Pongamos el siguiente problema: el número de canicas que tengo, más tres, es igual al doble de las canicas que tengo, menos dos. ¿Cuántas canicas tengo? El primer paso para resolver este problema es expresar el enunciado como una **ecuación**:

Donde x es la incógnita: ¿cuántas canicas tengo?

La ecuación se podría leer así: El número de canicas que tengo, más tres que me dan, es igual al doble de mis canicas, quitándome dos.

El enunciado está expresado, pero no podemos ver claramente cuál es el valor de x; para ello se sigue este procedimiento: Primero se pasan todos los términos que dependen de x al primer miembro y los términos independientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que cualquier término que se cambia de miembro cambia también de signo. Así obtenemos:

Que, simplificado, resulta:

Esta expresión nos lleva a una regla muy importante del álgebra, que dice que si modificamos igualmente ambos miembros de una ecuación, el resultado es el mismo. Esto significa que podemos sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar y radicar los dos miembros de la ecuación por el mismo número, sin que ésta sufra cambios. En este caso, si multiplicamos ambos miembros por -1 obtendremos:

El problema está resuelto.

Ecuaciones de segundo grado
Las ecuaciones polinómicas de segundo grado tienen la forma canónica

Donde **a** es el coeficiente del //término cuadrático// (aquel en que la incógnita está elevada a la potencia 2), **b** es el coeficiente del //término lineal// (el que tiene la incógnita sin exponentes, o sea que está elevada a la potencia 1), y **c** es el //término independiente// (el que no depende de la variable, o sea que está compuesto sólo por constantes o números) Todas las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones, aunque a veces ambas pueden coincidir entre sí. Para su resolución tenemos que distinguir entre tres situaciones distintas:

Ecuaciones de la forma ax² + c = 0
Son un caso particular de ecuaciones de segundo grado en las que no existe el //término lineal// o //término en x//, lo que les confiere su principal característica algebraica: el coeficiente **b** es nulo (b = 0). Esto hace que sea un tipo de ecuaciones muy sencillas de resolver mediante un método similar a las de primer grado. Tengamos por ejemplo:

Donde a = 1 y c = −16. Pasamos entonces −16 al segundo miembro:

Ahora pasamos el exponente 2, o //cuadrado//, al segundo miembro, convirtiéndolo en la operación opuesta, //raíz cuadrada//:

La ecuación ya está resuelta.

Nota: si −ca fuera un número real negativo (cosa que no ocurre en este caso, donde es −ca = 4) las raíces de la ecuación serían imaginarias y pertenecerían al campo de los [|números complejos].

Ecuaciones de la forma ax² + bx = 0
Son otro caso particular de ecuaciones de segundo grado, en las que no existe el //término independiente//. En ellas todos los términos dependen de la variable incógnita o, coloquialmente, //tienen x//, lo que les confiere también una característica algebraica: el coeficiente **c** es nulo (c = 0). Tengamos:

Donde a = 3 y b = 9. En este tipo de ecuaciones, lo primero que hacemos es declarar x como factor común de ambos términos:

Esta expresión es una multiplicación cuyo resultado es 0; por lo tanto, uno de los dos factores tiene que ser igual a 0. Así es que, o el primer factor (x) es igual a cero (lo que constituye una de las soluciones), o lo es el segundo:

Por lo tanto, las dos soluciones válidas para esta ecuación son 0 y −3.



Ecuaciones de la forma ax² + bx + c = 0
Son el caso más general de ecuaciones de segundo grado, en el que existen los tres términos: cuadrático, lineal e independiente. Los tres coeficientes **a**, **b** y **c** serán entonces //no nulos// o //distintos de cero//.

Si tenemos la ecuación cuadrática:

Para resolver ecuaciones cuadráticas utilizamos la [|fórmula general]:

Si sustituimos las letras por los números, siendo:

a = coeficiente de la incógnita elevada al cuadrado con su signo.b = coeficiente de la incógnita elevada a uno.c = coeficiente de la incógnita elevada a cero (el número libre). A partir de esta fórmula obtenemos las soluciones de esta ecuación, que son: -2 y -3

Si el resultado obtenido dentro de la raíz es un número negativo, las soluciones son [|números complejos].

Otro método
También podemos resolver ecuaciones cuadráticas del siguiente modo:

Si hallamos dos números **m** y **n** tales que al sumarlos y multiplicarlos entre sí resulten coincidir respectivamente con **−b** y **c**, entonces la expresión:

será equivalente a:

siendo **m** y **n** los dos valores (o raíces) de la expresión.

En el ejemplo anterior, **m** =-2 y **n**= -3, puesto que: 2 + 3 = 5 y 2 × 3 = 6.

luego, la igualdad:

es equivalente a:



Demostración
Partiendo de la igualdad:

operando, obtenemos:

Luego, para **a = 1**, resulta:


 * m** y **n** son por lo tanto dos números cuya suma resulta igual a **−b**, y cuyo producto coincide con **c**.

Tipos de ecuación algebraica
Una **ecuación algebraica** en x contiene solo expresiones algebraicas, como polinomios, expresiones racionales, radicales y otras. Una ecuación de este tipo se llama **ecuación condicional** si hay números en los dominios de las expresiones que no sean soluciones; por ejemplo, x^2= 9 es condicional porque el número x=4 (y otros) no es una solución. Si todo número de los dominios de las expresiones de una ecuación algebraica es una solución, la ecuación se llama **identidad**.

**<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 16px;">FÓRMULA DE LOS PRODUCTOS NOTABLES **
 * **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 16px;">CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES ** || **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 16px;">CUBO DE UNA SUMA ** ||
 * || <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 16px;">( a + b )2 || **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 16px;">= ** || <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 16px;">a2 + 2ab+b2 ||  ||   || <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 16px;">(a + b)3 || **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 16px;">= ** || <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 16px;">a3 + 3a2b + 3ab2 +b3 ||   ||
 * **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 16px;">CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES ** || **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 16px;">CUBO DE UNA DIFERENCIA ** ||
 * || <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 16px;">( a - b )2 || **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 16px;">= ** || <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 16px;">a2- 2ab + b2 ||  ||   || <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 16px;">(a - b)3 || **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 16px;">= ** || <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 16px;">a3 - 3a2b + 3ab2 -b3 ||   ||
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 * || <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 16px;">(a + b) || <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 16px;">(a - b) || **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 16px;">= ** || <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 16px;">a2 -b2 ||  ||   || <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 16px;">(x + a) || <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 16px;">(x + b) || **<span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 16px;">= ** || <span style="font-family: 'Arial','sans-serif'; font-size: 16px;">x2 + (a+b)x +ab ||   ||